นิยาม
ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน |
จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบในรูปของเลขยกกำลัง โดยฐานของมันต้องมากกว่า 0 และฐานต้องไม่เป็น 1 ตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเช่น
ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลค่ะ ซึ่งมีมากมาย นี่เป็นแค่ส่วนหนี่งเท่านั้นค่ะ
ต่อไปเราลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้คะ
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ดังนี้
ถ้า จะได้
จาก แทน x ด้วย -2 ได้ว่า
นั่นคือ ถ้า ได้ว่า
ถ้า จะได้
จาก แทน x ด้วย -1 ได้ว่า
นั่นคือ ถ้า ได้ว่า
ถ้า จะได้
จาก แทน x ด้วย 0 ได้ว่า
นั่นคือ ถ้า ได้ว่า
ถ้า จะได้
จาก แทน x ด้วย 1 ได้ว่า
นั่นคือ ถ้า ได้ว่า
ถ้า จะได้
จาก แทน x ด้วย 2 ได้ว่า
นั่นคือ ถ้า ได้ว่า
นำค่า x และค่า y ที่ได้มาเขียนลงในตารางเพื่่อเตรียนการพลอตกราฟขึ้นมา
จากตารางจะได้คู่อันดับ
นำคู่อันดับไปพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังนี้ค่ะ
เส้นกราฟจะไม่เตะแกน x น่ะครับแต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆ เมื่อค่าของ x ลดลงค่ะ
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ดังนี้
ถ้าให้ จะได้ค่า y คือ
นั้นคือ ถ้าให้ ได้
ถ้าให้ จะได้ค่า y คือ
นั่นคือ ถ้าให้ จะได้
ถ้าให้ จะได้ค่า y คือ
จำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1
นั้นคือ ถ้าให้ จะได้
ถ้าให้ จะได้ค่า y คือ
นั่นคือ ถ้าให้ จะได้
ถ้าให้ จะได้ค่า y คือ
นั้นคือ ถ้าให้ จะได้
จากนั้นนำค่า x และ y ที่ได้มาเขียนลงในตาราง จะได้
| |||||
นำคู่อันดับในตารางเป็นพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังรูปข้างล่างค่ะ
กราฟจะไม่เตะแกน x น่ะคะ แต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆค่ะ
จากตัวอย่าง 2 ข้อที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูนั้น จะเห็นได้ว่า
ตัวอย่างที่ 1 ตารางของค่า x และ y เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y ก็จะลดลงด้วย เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันเพิ่ม"
ตัวอย่างที่ 2 ตารางของค่า x และ y เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันลด"
ที่นี้มาดูหลักในการพิจารณาว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันเอ็กซ์ชันโพเนนเชียลใดเป็น ฟังก์ชันลด
ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรูปแบบทั่วไปคือ ถ้า ค่า ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างเช่น
ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มค่ะ
แต่ถ้า ค่าของ ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลดค่ะ ยกตัวอย่างเช่น
ซึ่ง a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังชันนี้เป็นฟังก์ชันลด
ซึ่งค่า a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังก์นี้เป็นฟังก์ชันลดค่ะ