วันอาทิตย์ที่ 3 สิงหาคม พ.ศ. 2557

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function)



ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function)

ฟังก์ชันนั้นมีอยู่หลายรูปแบบ แต่ละแบบก็มีการตั้งชื่อไม่เหมือนกัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลก็เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเราจะไปดูว่าฟังก์ชันเอกซ์โพนเนนเชียลนั้นมีรูปแบบอย่างไร ก็ต้องไปดูนิยามของมันครับ ว่านิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลนั้นเป็นอย่างไร
นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน

\dpi{110}f=\{(x,y)\in R \times R \mid y=a^{x} ,a>0,a\neq  1\}

จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบในรูปของเลขยกกำลัง โดยฐานของมันต้องมากกว่า 0 และฐานต้องไม่เป็น 1  ตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเช่น

\dpi{200}y=10^{x}
\dpi{200}y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}
\dpi{200}y=(\sin 30^{\circ})^{x}
\dpi{200}y=(\sqrt{2})^{x}

ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลค่ะ ซึ่งมีมากมาย นี่เป็นแค่ส่วนหนี่งเท่านั้นค่ะ

ต่อไปเราลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้คะ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน \dpi{200}y=3^{x}
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y  ดังนี้

ถ้า \dpi{200}x=-2 จะได้

จาก \dpi{200}y=3^{x} แทน x ด้วย -2 ได้ว่า

\dpi{200}y=3^{-2}
\dpi{200}y=\frac{1}{3^{2}}

\dpi{200}y=\frac{1}{9}
นั่นคือ ถ้า \dpi{200}x=-2 ได้ว่า \dpi{200}y=\frac{1}{9}
ถ้า \dpi{200}x=-1 จะได้

จาก  \dpi{200}y=3^{x} แทน x ด้วย -1 ได้ว่า

\dpi{200}y=3^{-1}
\dpi{200}y=\frac{1}{3^{1}}

\dpi{200}y=\frac{1}{3}
นั่นคือ ถ้า \dpi{200}x=-1 ได้ว่า \dpi{200}y=\frac{1}{3}
ถ้า \dpi{200}x=0 จะได้

จาก  \dpi{200}y=3^{x} แทน x ด้วย 0 ได้ว่า

\dpi{200}y=3^{0}

\dpi{200}y=1

นั่นคือ ถ้า \dpi{200}x=0 ได้ว่า \dpi{200}y=1
ถ้า \dpi{200}x=1 จะได้

จาก  \dpi{200}y=3^{x} แทน x ด้วย 1 ได้ว่า
\dpi{200}y=3^{1}
\dpi{200}y=3
นั่นคือ ถ้า \dpi{200}x=1 ได้ว่า \dpi{200}y=3

ถ้า \dpi{200}x=2 จะได้

จาก  \dpi{200}y=3^{x} แทน x ด้วย 2 ได้ว่า
\dpi{200}y=3^{2}
\dpi{200}y=9
นั่นคือ ถ้า \dpi{200}x=2 ได้ว่า \dpi{200}y=9
นำค่า x และค่า y ที่ได้มาเขียนลงในตารางเพื่่อเตรียนการพลอตกราฟขึ้นมา


จากตารางจะได้คู่อันดับ

\dpi{200}(-2,\frac{1}{9}),(-1,\frac{1}{3}),(0,1),(1,3),(2,9)

นำคู่อันดับไปพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังนี้ค่ะ



เส้นกราฟจะไม่เตะแกน x น่ะครับแต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆ เมื่อค่าของ x ลดลงค่ะ

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน \dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y  ดังนี้
ถ้าให้ \dpi{200}x=-2    จะได้ค่า y คือ

\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} 
\dpi{200}y=\frac{(1)^{-2}}{(4)^{-2}}=4^{2}=16
นั้นคือ ถ้าให้ \dpi{200}x=-2 ได้ \dpi{200}y=16

ถ้าให้ \dpi{200}x=-1 จะได้ค่า y คือ
\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}
\dpi{200}y=\frac{(1)^{-1}}{(4)^{-1}}=4
นั่นคือ ถ้าให้ \dpi{200}x=-1 จะได้ \dpi{200}y=4

ถ้าให้ \dpi{200}x=0 จะได้ค่า y คือ

\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{0}=1  จำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1
นั้นคือ ถ้าให้ \dpi{200}x=0 จะได้ \dpi{200}y=1

ถ้าให้ \dpi{200}x=1 จะได้ค่า y คือ

\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{1}=\frac{1}{4}
นั่นคือ ถ้าให้ \dpi{200}x=1 จะได้ \dpi{200}y=\frac{1}{4}
ถ้าให้ \dpi{200}x=2 จะได้ค่า y คือ

\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}
นั้นคือ ถ้าให้ \dpi{200}x=2 จะได้ \dpi{200}y=\frac{1}{16}
จากนั้นนำค่า x และ y ที่ได้มาเขียนลงในตาราง จะได้

 x  -2 -1   0   1  
   2

 y  16  4   1   \frac{1}{4}   \frac{1}{16}

นำคู่อันดับในตารางเป็นพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังรูปข้างล่างค่ะ


กราฟจะไม่เตะแกน x น่ะคะ แต่จะเข้าใกล้แกน x  เรื่อยๆค่ะ

จากตัวอย่าง 2 ข้อที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูนั้น จะเห็นได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 ตารางของค่า x และ y    เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y ก็จะลดลงด้วย เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันเพิ่ม"

ตัวอย่างที่ 2
ตารางของค่า x และ y  เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น  เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันลด"

ที่นี้มาดูหลักในการพิจารณาว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันเอ็กซ์ชันโพเนนเชียลใดเป็น ฟังก์ชันลด  

        ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรูปแบบทั่วไปคือ \dpi{200}y=a^{x} ถ้า ค่า \dpi{200}a>1 ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างเช่น

\dpi{200}y=5^{x}  \dpi{200},a=5 ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
\dpi{200}y=4^{2x}=(4^{2})^{x}=16^{x} \dpi{200},a=16   ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มค่ะ

แต่ถ้า ค่าของ \dpi{200} 0<a<1  ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลดค่ะ  ยกตัวอย่างเช่น

\dpi{200}y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \dpi{200},a=\frac{1}{2}   ซึ่ง a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังชันนี้เป็นฟังก์ชันลด
\dpi{200}y=3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \dpi{200},a=\frac{1}{3} ซึ่งค่า a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังก์นี้เป็นฟังก์ชันลดค่ะ