ครูอ้อย นันทยา ดีพูน

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function)

ฟังก์ชันนั้นมีอยู่หลายรูปแบบ แต่ละแบบก็มีการตั้งชื่อไม่เหมือนกัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลก็เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเราจะไปดูว่าฟังก์ชันเอกซ์โพนเนนเชียลนั้นมีรูปแบบอย่างไร ก็ต้องไปดูนิยามของมันครับ ว่านิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลนั้นเป็นอย่างไร

นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน

$\dpi{110}f=\{(x,y)\in R \times R \mid y=a^{x} ,a>0,a\neqÂ 1\}$

จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบในรูปของเลขยกกำลัง โดยฐานของมันต้องมากกว่า 0 และฐานต้องไม่เป็น 1 ตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเช่น

$\dpi{200}y=10^{x}$
$\dpi{200}y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}$
$\dpi{200}y=(\sin 30^{\circ})^{x}$
$\dpi{200}y=(\sqrt{2})^{x}$

ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลค่ะ ซึ่งมีมากมาย นี่เป็นแค่ส่วนหนี่งเท่านั้นค่ะ

ต่อไปเราลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้คะ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน $\dpi{200}y=3^{x}$
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ดังนี้

ถ้า $\dpi{200}x=-2$ จะได้

จาก $\dpi{200}y=3^{x}$ แทน x ด้วย -2 ได้ว่า

$\dpi{200}y=3^{-2}$
$\dpi{200}y=\frac{1}{3^{2}}$

$\dpi{200}y=\frac{1}{9}$
นั่นคือ ถ้า $\dpi{200}x=-2$ ได้ว่า $\dpi{200}y=\frac{1}{9}$
ถ้า $\dpi{200}x=-1$ จะได้

จาก $\dpi{200}y=3^{x}$ แทน x ด้วย -1 ได้ว่า

$\dpi{200}y=3^{-1}$
$\dpi{200}y=\frac{1}{3^{1}}$

$\dpi{200}y=\frac{1}{3}$
นั่นคือ ถ้า $\dpi{200}x=-1$ ได้ว่า $\dpi{200}y=\frac{1}{3}$
ถ้า $\dpi{200}x=0$ จะได้

จาก $\dpi{200}y=3^{x}$ แทน x ด้วย 0 ได้ว่า

$\dpi{200}y=3^{0}$

$\dpi{200}y=1$

นั่นคือ ถ้า $\dpi{200}x=0$ ได้ว่า $\dpi{200}y=1$
ถ้า $\dpi{200}x=1$ จะได้

จาก $\dpi{200}y=3^{x}$ แทน x ด้วย 1 ได้ว่า
$\dpi{200}y=3^{1}$
$\dpi{200}y=3$
นั่นคือ ถ้า $\dpi{200}x=1$ ได้ว่า $\dpi{200}y=3$

ถ้า $\dpi{200}x=2$ จะได้

จาก $\dpi{200}y=3^{x}$ แทน x ด้วย 2 ได้ว่า
$\dpi{200}y=3^{2}$
$\dpi{200}y=9$
นั่นคือ ถ้า $\dpi{200}x=2$ ได้ว่า $\dpi{200}y=9$
นำค่า x และค่า y ที่ได้มาเขียนลงในตารางเพื่่อเตรียนการพลอตกราฟขึ้นมา

จากตารางจะได้คู่อันดับ

$\dpi{200}(-2,\frac{1}{9}),(-1,\frac{1}{3}),(0,1),(1,3),(2,9)$

นำคู่อันดับไปพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังนี้ค่ะ

exponential function

เส้นกราฟจะไม่เตะแกน x น่ะครับแต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆ เมื่อค่าของ x ลดลงค่ะ

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน $\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ดังนี้
ถ้าให้ $\dpi{200}x=-2$ จะได้ค่า y คือ

$\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}Â$
$\dpi{200}y=\frac{(1)^{-2}}{(4)^{-2}}=4^{2}=16$
นั้นคือ ถ้าให้ $\dpi{200}x=-2$ ได้ $\dpi{200}y=16$

ถ้าให้ $\dpi{200}x=-1$ จะได้ค่า y คือ
$\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}$
$\dpi{200}y=\frac{(1)^{-1}}{(4)^{-1}}=4$
นั่นคือ ถ้าให้ $\dpi{200}x=-1$ จะได้ $\dpi{200}y=4$

ถ้าให้ $\dpi{200}x=0$ จะได้ค่า y คือ

$\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{0}=1$ จำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1
นั้นคือ ถ้าให้ $\dpi{200}x=0$ จะได้ $\dpi{200}y=1$

ถ้าให้ $\dpi{200}x=1$ จะได้ค่า y คือ

$\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{1}=\frac{1}{4}$
นั่นคือ ถ้าให้ $\dpi{200}x=1$ จะได้ $\dpi{200}y=\frac{1}{4}$
ถ้าให้ $\dpi{200}x=2$ จะได้ค่า y คือ

$\dpi{200}y=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$
นั้นคือ ถ้าให้ $\dpi{200}x=2$ จะได้ $\dpi{200}y=\frac{1}{16}$
จากนั้นนำค่า x และ y ที่ได้มาเขียนลงในตาราง จะได้

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$16$	$4$	$1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

นำคู่อันดับในตารางเป็นพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังรูปข้างล่างค่ะ

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล

กราฟจะไม่เตะแกน x น่ะคะ แต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆค่ะ

จากตัวอย่าง 2 ข้อที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูนั้น จะเห็นได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 ตารางของค่า x และ y เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y ก็จะลดลงด้วย เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันเพิ่ม"

ตัวอย่างที่ 2 ตารางของค่า x และ y เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันลด"

ที่นี้มาดูหลักในการพิจารณาว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันเอ็กซ์ชันโพเนนเชียลใดเป็น ฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรูปแบบทั่วไปคือ $\dpi{200}y=a^{x}$ ถ้า ค่า $\dpi{200}a>1$ ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างเช่น

$\dpi{200}y=5^{x}$ $\dpi{200},a=5$ ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
$\dpi{200}y=4^{2x}=(4^{2})^{x}=16^{x}$ $\dpi{200},a=16$ ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มค่ะ

แต่ถ้า ค่าของ $\dpi{200} 0<a<1$ ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลดค่ะ ยกตัวอย่างเช่น

$\dpi{200}y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ $\dpi{200},a=\frac{1}{2}$ ซึ่ง a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังชันนี้เป็นฟังก์ชันลด
$\dpi{200}y=3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ $\dpi{200},a=\frac{1}{3}$ ซึ่งค่า a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังก์นี้เป็นฟังก์ชันลดค่ะ

ครูอ้อย นันทยา ดีพูน

วันอาทิตย์ที่ 3 สิงหาคม พ.ศ. 2557

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function)

คลังบทความของบล็อก